Отношения между множествами.
1) множества не имеют общих элементов
2) два множества имеют общие элементы
3) одно множество является подмножеством другого. Множество называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А. Также говорят, что множество В включено в множество А
4) два множества равны. Множества называются равными или совпадающими. Если каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот.
Пустое множество является подмножеством любого множества.
Объединение множеств и его свойства. Пересечение множеств и его свойства.
1. а) объединение двух множеств . Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В. Объединение определяется штриховкой и обозначается
А В В А В А В
1) А U В=С, 2) 3) АU В=А, 4) АUВ=А=В.
б) свойства операции объединения множеств:
· коммутативное свойство: АUВ=ВUА
· ассоциативное свойство: АU (ВUС)=(АUВ) UС
· закон поглощения: АUА=А; АUØ=А; АUУ=У.
2. а) пересечение двух множеств . Пересечением двух множеств А и В называется множество С, содержащее все элементы, которые принадлежат и множеству В одновременно.
А В А В А В
1) А∩В= Ø, 2) 3) А∩В=В 4) А∩В=А=В.
б) свойства пересечения:
· коммутативное свойство: А∩В= В∩А
· ассоциативное свойство: А∩(В∩С)=(А∩В)∩С
· закон поглощения: А∩А=А, А∩ Ø= Ø, А∩У=А
Дистрибутивные свойства, связывающие операции объединения и пересечения.
Их можно доказать на кругах Эйлера.
1). АU (В∩С)=(АUВ)∩(АUС)
2). А∩(ВUС)=(А∩В) U (А∩С)
Доказательство. Обозначим левую часть равенства М, а правую – Н. Чтобы доказать верность данного равенства, докажем, что множество М включено в Н, а Н в М.
Пусть 1). (произвольно выбранный элемент).
Принцип расширения числового множества. Множества целых и рациональных чисел, их свойства.
1. Расширяемое множество является подмножеством расширенного множества (натуральные числа являются подмножеством целых) N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество действительных чисел.
2. Операция арифметических действий в расширяемом R
Множестве, являющаяся алгебраической, выполняется
Точно также и в расширенном множестве. Если в Q
Расширяемом множестве арифметические действия Z
не выполняются, т.е. операция не является N
алгебраической, то в расширенном множестве эта
операция становится алгебраической.
Н-р: вычитание во множестве натуральных чисел
неалгебраическая операция, а во множестве целых чисел – алгебраическая. Деление во множестве целых чисел неалгебраическая, а во множестве рациональных чисел – алгебраическая.
Множество целых чисел (Z) включает в себя множество натуральных чисел, число 0 и числа противоположные натуральным. Множество целых чисел можно расположить на числовой прямой так, что каждому целому числу будет соответствовать одна и только одна точка на числовой прямой. Обратное утверждение не верно, любой точке не всегда будет соответствовать целое число.
Целые числа расположены на числовой прямой на одинаковом расстоянии от 0. Число 0 называется нейтральным элементом. Число, находящееся от заданного числа на таком же расстоянии левее 0, называется противоположным. Сумма двух противоположных чисел равна 0.
Z – является линейно упорядоченным, т.е. для любых чисел А и В, взятых из Z, справедливо одно из следующих отношений А=В, А<В, А>В. Z является счетным множеством. Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е. можно установить соответствия между заданным множеством и множеством N.
Покажем, что Z является счетным, т.е. каждому натуральному числу взаимно однозначно (единственным образом) соответствует целое число. Для того, чтобы установить такое соответствие поставим каждому нечетному натуральному числу в соответствие отрицательное целое число. А каждому четному натуральному числу поставим соответствие положительное число. Установив такое соответствие можно показать, что оно будет взаимно однозначным, а значит множество Z является счетным.
Z является дискретным. Множество дискретно, если оно упорядочено и между любыми двумя элементами этого множества находится конечное число элементов данного множества.
Множество рациональных чисел (Q). К рассмотрению дробных чисел привела необходимость измерения различных величин. Впервые дроби появились в ДР. Египте, но рассматривались только как доли 1, т.е. рассматривались только дроби вида 1\н. Дроби появились на геометрической основе при измерении длин отрезков. Н-р. пусть дан отрезок А, чтобы измерить этот отрезок, выбирается в качестве единицы длины другой отрезок Е и укладывается в заданном. если оказывается, что отрезок Е уложится равное число раз, то длина отрезка А выражается натуральным числом. Но часто оказывалось, что отрезок Е укладывался неравное число раз. Тогда его разбивали на более мелкие части и получали отрезок Е 1 и уже этот отрезок укладывали в заданном отрезке А. Тогда длина отрезка А измерялась парой натуральных чисел. Первое число показывало, сколько раз в отрезке А уложился отрезок Е. Второе число показывало, сколько раз уложился отрезок Е 1 в остатке отрезка А после измерения отрезка Е. Эта пара чисел и определяла дробь. Запись вида м\н называется дробью, где м и н натуральные числа. Две дроби называют эквивалентными (равносильными), если произведение числителя первой дроби на знаменатель второй равно произведению знаменателя первой дроби на числитель второй.
Свойства множества рациональных чисел . 1). Q является линейно упорядоченным, т.е.для любых рациональных чисел А и В выполняется одно из отношений А=В, А>В, А<В. Рациональное число , если a*d>b*c . Докажем, что Q линейно упорядоченное и отношение является отношением строгого порядка.
Докажем антисимметричность . Из того, что , из того, что дробь . Т.К. во множестве натуральных чисел отношение «больше» антисимметрично, можно записать .
Докажем транзитивность отношения «больше».
Если , то
Так как произведение (bc)n=(cn)b и отношение «больше» в множестве натуральных чисел транзитивно → (ad)n>(dm)b | сократим на d
Так как выполняются свойства антисимметричности и транзитивности, то отношение «больше» является отношением строгого порядка.
2). Любому рациональному числу можно поставить в соответствие единственную точку числовой прямой. Обратное утверждение неверно.
3). Q является множеством всюду плотным. Числовое множество называется всюду плотным, если оно линейно упорядочено и между любыми двумя его элементами находится бесконечное количество элементов заданного множества. Для доказательства этого выберем на числовой прямой два рациональных числа к 1 , к 2 . докажем. Что между ними находится бесконечно много рациональных чисел. Используем операцию нахождения среднего арифметического
К 1 к 4 к 3 к 5 к 2
Число к – рациональное, так как операция сложения и деления на 2 определены. Процесс нахождения среднеарифметического всегда выполним и бесконечен, т.е. между к и к находится бесконечно много рациональных чисел.
4). Q – счетное множество, так как оно равномощно множеству натуральных чисел.
3 . Разность между множествами, дополнение одного множества до другого. Свойства разности и дополнения. Разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Если множество В является подмножеством множества А, то разность между множествами А и В называется дополнением множества В до множества А.
А В \ - разность А В
А={a 1, a 2 , a 3 ...a k } n(A)=k
B={b 1 , b 2 , b 3 ,…b t } n(B)=t
Докажем, что n(AUB)=k+t
AUB={a 1 , a 2 , a 3 ,…a k , b k+1 , b k+2 ,…b k+t }
A∩B=Ø n(AUB)=k+t
n(AUB)=n(A)+n(B).
2. Если множества пересекаются. Число элементов объединения двух конечных пересекающихся множеств равно разности между суммой численности этих множеств и численности пересечения данных множеств. Доказательство.
A={a 1 , a 2 , a 3 ,…a s, a s+1, a s+2…… a s+t } n(A)=s+t
B={a 1 , a 2 , a 3 , …a s , b s+1 , b s + 2 , b s + 3 ,…s+k } n(B)=s+k
A∩B={a 1 , a 2 , a 3 ,…a s } n(A∩B)=s
AUB={a 1 , a 2 ,…a s …a s+t , b s+1 , b s + 2 , b s + 3 …b s + k }
n(AUB=s+t+k=s+t+k+s-s=(s+t)+(s+k)-s, тогда
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B);
3. Число элементов дополнения конечного множества А до конечного множества В равно разности численности этих множеств. Доказательство.
B={b 1 , b 2 , b 3 …b k }
А={b 1 , b 2 , b 3 ,……b m } m (B\A)={b m+1 , b m+2 ,…b k } n(B\A)=k-m Þ С дошкольного возраста ребенок оперирует натуральными числами, то производя счет предметов, то пересчитывая множество пальцев на руках. Основным понятием при введении понятия множества натуральных чисел N
является отношение , которое определяется следующими аксиомами Пеано. Аксиома 1
. В множестве N
существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества, который называется единицей и обозначается символом 1. Аксиома 2.
Для каждого элемента п
множества N,
существует единственный элемент (п+1)
, непосредственно следующий за п
. Аксиома 3.
Для каждого элемента п
из N
существует не более одного элемента (п-1)
, за которым непосредственно следует п.
Аксиома 4.
Любое подмножество Р
множества N
совпадает с N
, если для него выполняются свойства: 1) 1 содержится в Р
; 2) из того, что п
содержится в Р
, следует, что и (п+1)
содержится в Р
. На основании аксиом Пеано сформулируем определение множества натуральных чисел. Определение.
Множество N,
элементы которого удовлетворяют аксиомам 1-4, т.е. находятся в отношении «непосредственно следовать за»
, называется множеством натуральных чисел,
а его элементы – натуральными числами. Расширением множества натуральных чисел N
является множество целых чисел Z,
которое является объединением натуральных чисел, числа нуль и чисел противоположных натуральным числам. Расширением множества целых чисел является множество рациональных чисел Q,
представляющее собой объединение целых и дробных чисел. Множество всех чисел представимых в виде несократимой дроби m/n
, где m
может быть любым целым числом, (не исключая нуля), т.е. m
Î Z,
а n –
натуральное число, т.е. n
Î N,
составляют множество рациональных чисел.
Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби, и наоборот, любая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой рациональное число. Существуют числа, которые нельзя представить в виде несократимой дроби, т.е. не принадлежат множеству рациональных чисел. Такие числа составляют множество иррациональных чисел I
, их можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. Например, длина диагонали квадрата со стороной 1 должна выражаться некоторым положительным числом r 2
=1 2 +1 2 (по теореме Пифагора), т.е. таким, что r 2
=2. Число r
не может быть целым, 1 2 = 1, 2 2 = 4 и т.д. Число r
не может быть и дробным: если r = m/n
- несократимая дробь, где n¹1, то r 2 =m 2 /n 2 тоже будет несократимой дробью, где n 2 ¹ 1; значит, m 2 /n 2 не является целым числом, а потому не может равняться 2. Поэтому длина диагонали квадрата выражается иррациональным числом, оно обозначается . Аналогично, не существует рационального числа, квадрат которого равен 5, 7, 10. Соответствующие иррациональные числа обозначаются , , . Противоположные им числа также иррациональны, они обозначаются - ,- ,- . Множество иррациональных чисел бесконечно. Например, число p, выражающее отношение длины окружности к диаметру, нельзя представить в виде обыкновенной дроби – это иррациональное число. Множество, элементами которого являются рациональные и иррациональные числа называется множеством действительных чисел
и обозначается буквой R.
Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой. Каждая точка координатной прямой соответствует единственному действительному числу. Множество действительных чисел называют также числовой прямой.
Нами рассмотрен процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным, который был связан с потребностями практики и с нуждами самой математики. Необходимость выполнения деления привела от натуральных чисел к понятию дробных положительных чисел; затем операция вычитания привела к понятиям отрицательных чисел и нуля; далее, необходимость извлечения корней из положительных чисел – к понятию иррационального числа. Множество, на котором выполнимы все эти операции, есть множество действительных чисел, однако не все операции выполнимы на данном множестве. Например, нет возможности извлечь корень квадратный из отрицательного числа или решить квадратное уравнение х 2 + х + 1 = 0. Значит, есть потребность в расширении множества действительных чисел. Введем число i
, такое, что i 2
= - 1. Это число позволит извлекать корни из отрицательных чисел. Итак, расширением множества действительных чисел есть множество комплексных чисел
, которое обозначается буквой С
. Подробно, с множеством комплексных чисел, мы познакомимся позже. Будем пользоваться обозначениями: N
- множество натуральных чисел; Z
- множество целых чисел; Q
- множество рациональных чисел, R
- множество действительных чисел С
- множество комплексных чисел. Положительные рациональные числа.
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
Признаки делимости.
Теоретико-множественный смысл разности.
Теоретико-множественный смысл суммы.
ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ
1. Из истории возникновения понятия натурального числа. 2. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет. 3. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и нуля. 4. Теоретико-множественный смысл отношения «меньше», «равно»
6. Законы сложения. 8. Отношения «больше на» и «меньше на». 9. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. 10. Из истории возникновения и развития способов записи натуральных чисел и нуля. 11. Понятие системы счисления. 12. Позиционные и непозиционные системы счисления. 13. Запись и названия чисел в десятичной системе счисления. 14. Сложение в десятичной системе счисления. 15. Умножение в десятичной системе счисления 16. Упорядоченность множества натуральных чисел. 17. Вычитание в десятичной системе счисления. 18. Деление в десятичной системе счисления. 19. Множество целых неотрицательных чисел. 20. Отношение делимости и его свойства. 23. Простые числа. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел. 24. Понятие дроби. 27. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. 28. Действительные числа. МОДУЛЬ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ВЕЛИЧИНЫ
Известно, что числа возникли из потребности счета и измерения, но если для счета достаточно натуральных чисел, то для измерения величин нужны и другие числа. Однако в качестве результата измерения величин будем рассматривать только натуральные числа. Определив смысл натурального числа как меры величины, мы выясним, какой смысл имеют арифметические действия над такими числами. Эти знания нужны учителю начальных классов не только для обоснования выбора действий при решении задач с величинами, но и для понимания еще одного подхода к трактовке натурального числа, существующего в начальном обучении математике. Натуральное число мы будем рассматривать в связи с измерений положительных скалярных величин - длин, площадей, масс, времени др., поэтому прежде, чем говорить о взаимосвязи величин и натуральных чисел, напомним некоторые факты, связанные с величиной и измерением, тем более что понятие величины, наряду с числом, является основным в начальном курсе математики. В последние годы наметилась тенденция к включению значительного по объему геометрического материала в начальный курс математики. Но для того, чтобы учитель мог познакомить учащихся с различными геометрическими фигурами (как плоскости, так и пространства), мог научить их правильно изображать геометрические фигуры, ему нужна соответствующая математическая подготовка. Безусловно, нужны знания об истории возникновения и развития геометрии, так как ученик в процессе развития геометрических представлений проходит, в свернутом виде, основные этапы создания геометрической науки. Учитель должен быть знаком с ведущими идеями курса геометрии, знать основные свойства геометрических фигур, уметь их построить. В освоении этого материала учителю поможет материал данного модуля. В нем с учетом подготовки, полученной студентами в школьном курсе математики, представлен геометрический материал, необходимый для обучения младших школьников элементам геометрии. Студент должен уметь:
Иллюстрировать примерами из учебников математики для начальной школы к определению натурального числа и действий над числами, как результата измерения величин; Решать элементарные задачи на построение с помощью циркуля и линейки в объеме, определенном содержанием обучения; Решать несложные задачи на доказательство и вычисление числовых значений геометрических фигур; Изображать на плоскости призму, прямоугольный параллелепипед, пирамиду, цилиндр, конус, шар, используя правила проектирования. Первое расширение понятия о числе, которое учащиеся усваивают после ознакомления с натуральными числами, - добавление нуля. Происходит это еще в начальной школе. Сначала «О» - знак для обозначения отсутствия числа. Почему же нельзя делить на нуль? Разделить - значит найти такой х
, что: х-0 = а.
Возможны два случая: 1) а *
х:
дг-0 *
0. Это невозможно; 2) а =
0, следовательно, надо найти хг. х-0 =
0. Таких х
сколько угодно, что противоречит требованию однозначности каждой арифметической операции: Есть учебники, где основные законы действий считаются справедливыми без необходимых обоснований. В курсе математики 5-6-х классов имеет место построение множества рациональных чисел. Следует отметить, что последовательность расширений множеств не однозначна. Возможные варианты: Элементарное понятие о дробном числе дается уже в начальной школе как о нескольких долях единицы. В основной школе дроби и действия над ними обычно вводятся методом целесообразных задач, придуманным еще С. И. Шохор- Троцким, например, при рассмотрении следующей задачи. Ученики могут умножить 15 на 4, на 5, теперь им требуется найти От 15. Ученики могут разделить на 3, найдя, сколько стоит одна доля 3 килограмма, и умножить на 2, чтобы определить, сколько стоят две таких доли. Поскольку одну и ту же задачу разумно решать одинаковым арифметическим действием, то они приходят к выводу, что эти два последовательных действия равнозначны умножению 15 на -. При введении дробных чисел желательно учитывать опыт учащихся, опираться на него. С дробями ученики встречаются в музыке. Самые распространенные дроби в ней: две четверти, три четверти, переводя на математический язык: две четвертых, три четвертых. Верхняя цифра обозначает количество долей в такте: две или три. Нижняя цифра обозначает длительность этой доли. В пашем случае - это четверть. В размере две четверти звучат марш, польки. В размере три четверти - вальс. Эти воспоминания помогут ученикам связать новые знания с их опытом, что является необходимым условием достижения понимания. При изучении действий второй ступени рекомендуется располагать различные случаи умножения на правильную дробь в порядке возрастания трудности: 1) умножение на целое число; 2) умножение целого числа на смешанное число; 3) умножение дроби на смешанное число; 4) умножение на правильную дробь; 5) умножение на дробь, в которой числитель равен знаменателю. Чтобы показать, что число при делении на правильную дробь увс- личивается, можно рассмотреть следующую ситуацию: 6: -. Шесть кружков разрезали на четыре части, частей, конечно, стало больше, чем кружков. Для введения сложных случаев предлагается задача на вычисление площади прямоугольника. При любой последовательности изучения дробей есть свои плюсы и минусы. Если десятичные дроби вводятся раньше обыкновенных, то положительным является то, что: Отрицательным является то, что для обыкновенных дробей всю теорию дробей надо строить заново, так как нельзя из частного случая делать общие выводы. Если же обыкновенные дроби вводятся до десятичных, то следует учитывать, что: Для введения отрицательных чисел используются разные приемы. Так, для обеспечения мотивации может быть использована проблемная ситуация, близкая опыту ребенка. Робин Гуд, спасаясь от преследователей, проплыл вверх по реке а
км, но, оказавшись перед бродом, вынужден был плыть вниз по реке и проплыл b
км. Где он оказался от начала своего пути (на каком расстоянии от входа в реку)? Выписав выражение для нахождения неизвестного: х = а - Ь у
необходимо рассмотреть все возможные соотношения между аик
1) а > к,
2) а = Ь;
3) а невыполнимо.
Также отрицательные числа могут быть введены: Эти приемы могут использоваться и как один из аспектов мотивации. Еще одним аспектом является невозможность выполнения какого-либо действия, как в задаче выше. Введя сравнение и действия над рациональными числами и свойства действий, мы получили числовое поле. Его дальнейшее расширение уже не может быть продиктовано невыполнением действий. Расширение понятия числа было вызвано геометрическими соображениями, а именно: отсутствием взаимно однозначного соответствия между множеством рациональных чисел и множеством точек числовой прямой. Для геометрии необходимо, чтобы каждая точка числовой прямой имела абсциссу, т.е. чтобы каждому отрезку при данной единице измерения соответствовало число, которое можно было бы принять за его длину. К необходимости этого расширения приводит и невозможность извлечения корня из положительного числа, нахождение логарифма любого положительного числа при любом положительном основании. Эта цель достигается после того, как поле рациональных чисел (с помощью присоединения к нему системы иррациональных чисел) подвергается расширению до множества действительных чисел.
