Двойные ряды. Сумма ряда на практике Суммирование расходящихся рядов

малая. Так как при font-size:14.0pt">~ (см. ), то ~ .

Учитывая это, получим:

значит, ряд расходится.

Г) font-size:14.0pt">,

следовательно, ряд расходится.

Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда: существует множество рядов, для которых , но которые тем не менее расходятся.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда font-size:14.0pt"> Решение. Заметим, что https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src=">, т. е. необходимое условие сходимости выполнено. Частичная сумма

left">

– раз

поэтому font-size:14.0pt">, а это значит, что ряд расходится по определению.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Пусть . Тогда ряд font-size:14.0pt"> Признак сравнения

Пусть и – знакоположительные ряды. Если для всех выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда https://pandia.ru/text/79/302/images/image074_19.gif" width="55" height="60">.

Этот признак остается в силе, если неравенство https://pandia.ru/text/79/302/images/image072_18.gif" width="60" height="24">, а лишь начиная с некоторого номера . Его можно проинтерпретировать следующим образом: если больший ряд сходится, то меньший тем более сходится; если расходится меньший ряд, то больший также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

Решение.

А) Заметим, что font-size:14.0pt"> для всех . Ряд с общим членом

Б) Сравним ряд с рядом ..gif" width="91" height="29 src=">.gif" width="87" height="59"> расходится, значит, данный ряд также расходится.

Несмотря на простоту формулировки признака сравнения, на практике более удобна следующая теорема, являющаяся его следствием.

Предельный признак сравнения

Пусть https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> – знакоположительные ряды. Если существует конечный и не равный нулю предел , то оба ряда и

одновременно сходятся или одновременно расходятся.

В качестве ряда, используемого для сравнения с данным, часто выбирают ряд вида . Такой ряд называется рядом Дирихле . В примерах 3 и 4 было показано, что ряд Дирихле с и расходится. Можно пока-

зать, что ряд font-size:14.0pt"> .

Если , то ряд называется гармоническим . Гармонический ряд расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд с помощью предельного признака сравнения, если

Решение. а) Так как при достаточно больших https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif" width="31" height="23 src=">, а

~ , то ~ font-size:14.0pt">сравнения с данным гармонический ряд font-size:14.0pt">, т. е. .

font-size:14.0pt"> Поскольку предел конечен и отличен от нуля и гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

Б) При достаточно больших https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif" width="111" height="31 src=">.gif" width="129" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src="> – общий член ряда, с которым будем сравнивать данный:

Font-size:14.0pt">Ряд сходится (ряд Дирихле с font-size:16.0pt">) , поэтому данный ряд также сходится.

В) , поэтому бесконечно малую font-size:14.0pt"> можно

заменить на эквивалентную ей при величину (https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> при font-size: 20.0pt">) . ;

;

;

г )

;

.

Такие суммы называются бесконечными рядами , а их слагаемые – членами ряда. (Многоточие означает, что число слагаемых бесконечно.) Решения сложных математических задач редко удается представить в точном виде посредством формул. Однако в большинстве случаев эти решения можно записать в виде рядов. После того, как такое решение найдено, методы теории рядов позволяют оценить, сколько членов ряда необходимо взять для конкретных вычислений или как записать ответ в наиболее удобном виде. Наряду с числовыми рядами мы можем рассматривать т.н. функциональные ряды , слагаемыми которых являются функции . Многие функции можно представить с помощью функциональных рядов. Изучение числовых и функциональных рядов является важной частью математического анализа .

В примерах (1) и (2) сравнительно легко догадаться, по какому закону образуются последовательные члены. Закон образования членов ряда может быть гораздо менее очевидным. Например, для ряда (3) он станет ясен, если этот ряд записать в следующем виде:

Сходящиеся ряды.

Поскольку сложение бесконечного числа членов ряда физически невозможно, необходимо определить, что именно следует понимать под суммой бесконечного ряда . Можно представить себе, что указанные операции сложения и вычитания выполняются последовательно, одна за другой, например, на компьютере. Если возникающие при этом суммы (частичные суммы) все ближе и ближе подходят к некоторому числу, то это число разумно назвать суммой бесконечного ряда. Таким образом, сумму бесконечного ряда можно определить как предел последовательности частичных сумм. При этом такой ряд называется сходящимся.

Найти сумму ряда (3) нетрудно, если заметить, что преобразованный ряд (4) можно записать в виде

Последовательные частичные суммы ряда (5) равны

и т.д.; можно заметить, что частичные суммы стремятся к 1. Таким образом, этот ряд сходится и его сумма равна 1.

В качестве примера бесконечных рядов можно рассматривать бесконечные десятичные дроби. Так, 0,353535... – это бесконечная периодическая десятичная дробь, являющаяся компактным способом записи ряда

Закон образования последовательных членов здесь понятен. Аналогично, 3,14159265... означает

но закон образования последующих членов ряда здесь неочевиден: цифры образуют десятичное разложение числа p , и трудно сразу сказать, какова, например, 100 000-я цифра, хотя теоретически эту цифру можно вычислить.

Расходящиеся ряды.

О бесконечном ряде, который не сходится, говорят, что он расходится (такой ряд называют расходящимся ). Например, ряд

расходится, так как его частичные суммы равны 1/2, 1, 1 1 / 2 , 2,.... Эти суммы не стремятся ни к какому числу как к пределу, поскольку, взяв достаточно много членов ряда, мы можем сделать частичную сумму сколь угодно большой. Ряд

также расходится, но по другой причине: частичные суммы этого ряда попеременно обращаются то в 1, то в 0 и не стремятся к пределу.

Суммирование.

Найти сумму сходящегося ряда (с заданной точностью), последовательно суммируя его члены, хотя теоретически и возможно, но практически трудно осуществимо. Например, ряд

сходится, и сумма его с точностью до десяти знаков после запятой равна 1,6449340668, но для того, чтобы вычислить ее с этой точностью, потребовалось бы взять ок. 20 млрд. членов. Такие ряды обычно суммируют, первоначально преобразуя их с помощью различных приемов. При этом используют алгебраические или вычислительные методы; например, можно показать, что сумма ряда (8) равна p 2 /6.

Обозначения.

Работая с бесконечными рядами, полезно иметь удобные обозначения. Например, конечную сумму ряда (8) можно записать как

Такая запись указывает на то, что n последовательно полагается равным 1, 2, 3, 4 и 5, а результаты складываются:

Аналогично, ряд (4) можно записать в виде

где символ Ґ указывает на то, что мы имеем дело с бесконечным рядом, а не с конечной его частью. Символ S (сигма) называют знаком суммирования.

Бесконечная геометрическая прогрессия.

Мы смогли просуммировать ряд (4), так как существовала простая формула для его частичных сумм. Аналогично, можно найти сумму ряда (2), или в общем виде,

если r принимает значения между –1 и 1. В этом случае сумма ряда (9) равна 1/(1 – r ); при других значениях r ряд (9) расходится.

Можно рассматривать периодические десятичные дроби вроде 0,353535... как иной способ записи бесконечной геометрической прогрессии

Это выражение можно записать также в виде

где в скобках стоит ряд (9) с r = 0,01; следовательно, сумма ряда (10) равна

Тем же способом можно представить в виде обычной дроби любую периодическую десятичную дробь.

Признаки сходимости.

В общем случае простой формулы для частичных сумм бесконечного ряда не существует, так что для установления сходимости или расходимости ряда прибегают к специальным методам. Например, если все члены ряда положительны, то можно показать, что ряд сходится, если каждый его член не превосходит соответствующего члена другого ряда, о котором известно, что он сходится. В принятых обозначения это можно записать следующим образом: если a n і 0 и сходится, то сходится, если 0 Ј b n Ј a n . Например, так как ряд (4) сходится и

то можно сделать вывод, что ряд (8) тоже сходится. Сравнение представляет собой основной метод, позволяющий устанавливать сходимость многих рядов, сопоставляя их с простейшими сходящимися рядами. Иногда используют более специальные признаки сходимости (их можно найти в литературе по теории рядов.) Приведем еще несколько примеров сходящихся рядов с положительными членами:

Сравнение можно использовать и для установления расходимости ряда. Если ряд расходится, то и ряд также расходится, если 0 Ј b n Ј a n .

Примерами расходящихся рядов могут служить ряды

и, в частности, т.к. гармонический ряд

В расходимости этого ряда можно убедиться, сосчитав следующие частичные суммы:

и т.д. Таким образом, частичные суммы, которые оканчиваются членами 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ј , превосходят частичные суммы расходящегося ряда (6), и поэтому ряд (14) должен расходиться.

Абсолютная и условная сходимости.

К таким рядам, как

метод сравнения неприменим, поскольку члены этого ряда имеют разные знаки. Если бы все члены ряда (15) были положительными, то мы получили бы ряд (3), о котором известно, что он сходится. Можно показать, что отсюда следует также сходимость ряда (15). Когда изменением знаков отрицательных членов ряда на противоположные его можно превратить в сходящийся, говорят, что исходный ряд сходится абсолютно .

Знакопеременный гармонический ряд (1) не является абсолютно сходящимся, т.к. ряд (14), состоящий из тех же, но только положительных членов, не сходится. Однако с помощью специальных признаков сходимости для знакопеременных рядов можно показать, что ряд (1) в действительности сходится. Сходящийся ряд, который не сходится абсолютно, называется условно сходящимся .

Операции с рядами.

Исходя из определения сходящегося ряда, легко показать, что его сходимость не нарушится от вычеркивания или приписывания к нему конечного числа членов, а также от умножения или деления всех членов ряда на одно и то же число (разумеется, деление на 0 исключается). При любой перестановке членов абсолютно сходящегося ряда его сходимость не нарушается, а сумма не меняется. Например, так как сумма ряда (2) равна 1, сумма ряда

также равна 1, поскольку этот ряд получается из ряда (2) перестановкой соседних членов (1-го члена со 2-м и т.д.). Можно как угодно изменять порядок следования членов абсолютно сходящегося ряда, лишь бы в новом ряду присутствовали все члены исходного. С другой стороны, перестановка членов условно сходящегося ряда может изменить его сумму и даже сделать его расходящимся. Более того, члены условно сходящегося ряда всегда можно переставить так, что он будет сходиться к любой заранее заданной сумме.

Два сходящихся ряда Sa n и Sb n можно почленно складывать (или вычитать), так что сумма нового ряда (который также сходится) складывается из сумм исходных рядов, в наших обозначениях

При дополнительных условиях, например, если оба ряда абсолютно сходятся, их можно умножать друг на друга, как это делается для конечных сумм, причем получающийся двойной ряд (см. ниже ) будет сходиться к произведению сумм исходных рядов.

Суммируемость.

Несмотря на то, что принятое нами определение сходимости бесконечного ряда кажется естественным, оно не является единственно возможным. Сумму бесконечного ряда можно определить и другими способами. Рассмотрим, например, ряд (7), который может быть записан компактно в виде

Как мы уже говорили, его частичные суммы попеременно принимают значения 1 и 0, и поэтому ряд не сходится. Но если мы образуем поочередно попарные средние его частичных сумм (текущее среднее), т.е. вычислим сначала среднее значение первой и второй частичных сумм, затем среднее второй и третьей, третьей и четвертой и т.д., то каждое такое среднее будет равно 1/2, и поэтому предел попарных средних также окажется равным 1/2. В этом случае говорят, что ряд суммируем указанным методом и его сумма равна 1/2. Было предложено много методов суммирования, позволяющих приписывать суммы довольно обширным классам расходящихся рядов и тем самым использовать некоторые расходящиеся ряды в вычислениях. Для большинства целей способ суммирования полезен, однако, только в том случае, если применительно к сходящемуся ряду он дает его конечную сумму.

Ряды с комплексными членами.

До сих пор мы молчаливо предполагали, что имеем дело лишь с действительными числами, но все определения и теоремы применимы и к рядам с комплексными числами (за исключением того, что суммы, которые могут быть получены при перестановке членов условно сходящихся рядов, не могут принимать произвольные значения).

Функциональные ряды.

Как мы уже отмечали, членами бесконечного ряда могут быть не только числа, но и функции, например,

Суммой такого ряда также является функция, значение которой в каждой точке получается как предел вычисленных в этой точке частичных сумм. На рис. 1 показаны графики нескольких частичных сумм и суммы ряда (при x , изменяющемся от 0 до 1); s n (x ) означает сумму первых n членов. Сумма ряда представляет собой функцию, равную 1 при 0 Ј x x = 1. Функциональный ряд может сходиться при одних значениях x и расходиться при других; в рассмотренном нами примере ряд сходится при –1Ј x x.

Сумму функционального ряда можно понимать по-разному. В некоторых случаях важнее знать, что частичные суммы близки (в том или ином смысле) к некоторой функции на всем интервале (a , b ), чем доказывать сходимость или расходимость ряда в отдельных точках. Например, обозначив частичную сумму n -го порядка через s n (x ), мы говорим, что ряд сходится в среднем квадратичном к сумме s (x ), если

Ряд может сходиться в среднем квадратичном, даже если он не сходится ни в одной отдельной точке. Существуют также и другие определения сходимости функционального ряда.

Некоторые функциональные ряды получили название по тем функциям, которые в них входят. В качестве примера можно привести степенные ряды и их суммы:

Первый из этих рядов сходится при всех x . Второй ряд сходится при |x | r x r x| Ј 1, если r > 0 (за исключением тех случаев, когда r – неотрицательное целое число; в последнем случае ряд обрывается после конечного числа членов). Формула (17) называется биномиальным разложением для произвольной степени.

Ряды Дирихле.

Рядами Дирихле называются функциональные ряды вида S (1/a n x ), где числа a n неограниченно возрастают; примером ряда Дирихле может служить дзета-функция Римана

Ряды Дирихле часто используются в теории чисел.

Тригонометрические ряды.

Так называются функциональные ряды, содержащие тригонометрические функции; тригонометрические ряды специального вида, используемые в гармоническом анализе, называются рядами Фурье. Примером ряда Фурье может служить ряд

F (x ), обладающая следующим свойством: если мы возьмем конкретную частичную сумму ряда (18), например сумму первых трех его членов, то разность между f (x ) и этой частичной суммой, вычисленной при некотором значении x , будет мала при всех значениях x вблизи 0. Иначе говоря, хотя мы не может добиться хорошей аппроксимации функции f (x ) в какой-либо конкретной точке x , далекой от нуля, взяв даже очень много членов ряда, но при x , близком к 0, всего лишь несколько его членов дают весьма хорошее ее приближение. Такие ряды называются асимптотическими . В численных расчетах асимптотические ряды обычно полезнее, чем сходящиеся, поскольку они с помощью небольшого числа членов обеспечивают достаточно хорошее приближение. Асимптотические ряды широко используются в теории вероятностей и математической физике.

Двойные ряды.

Иногда приходится суммировать двумерные массивы чисел

Мы можем просуммировать по строкам, а затем сложить построчные суммы. Вообще говоря, у нас нет особых оснований отдавать предпочтение строкам перед столбцами, но если суммирование сначала проводить по столбцам, то результат может оказаться другим. Например, рассмотрим двойной ряд

Здесь каждая строка сходится к сумме, равной 0, и сумма построчных сумм поэтому также равна нулю. С другой стороны, сумма членов первого столбца равна 1, а всех остальных столбцов равна 0, поэтому сумма сумм по столбцам равна 1. Единственными «удобными» сходящимися двойными рядами являются абсолютно сходящиеся двойные ряды: их можно суммировать по строкам или столбцам, равно как и любым другим способом, и сумма всегда получается одной и той же. Какого-либо естественного определения условной сходимости двойных рядов не существует.

Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена .

Методические указания по теме 1.4:

Числовые ряды:

Числовым рядом называется сумма вида

где числа u 1 , u 2 , u 3 , n n , называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член un называется общим членом ряда.

. . . . . . . . .

составленные из первых членов ряда (27.1), называются частными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм S 1 , S 2 , S 3 . Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда S n стремится к пределу S , то ряд называется сходящимся, а число S - суммой сходящегося ряда, т.е.

Эта запись равносильна записи

Если частичная сумма S n ряда (27.1) при неограниченном возрастании n не имеет конченого предела (в частности, стремится к + ¥ или к - ¥), то такой ряд называется расходящимся

Если ряд сходится, то значение S n при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S .

Разность r n = S - S n называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. r n = 0, и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Ряд вида называется геометрическим рядом.

называется гармоническим.

если N ®¥, то S n ®¥, т.е. гармонический ряд расходится.

Пример 1. Записать ряд по его заданному общему члену:

1) полагая n = 1, n = 2, n = 3, имеем бесконечную последовательность чисел: , , , Сложив ее члены, получим ряд

2) Поступая так же, получим ряд

3) Придавая n значения 1, 2, 3, и учитывая,что 1! = 1, 2! = 1 × 2, 3! = 1 × 2 × 3, получим ряд

Пример 2. Найти n -й член ряда по его данным первым числам:

1) ; 2) ; 3) .

Пример 3. Найти сумму членов ряда:

1) Находим частичные суммы членов ряда:

Запишем последовательность частичных сумм: …, , … .

Общий член этой последовательности есть . Следовательно,

Последовательность частичных сумм имеет предел, равный . Итак, ряд сходится и его сумма равна .

2) Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, в которой a 1 = , q= . Используя формулу получим Значит, ряд сходится и его сумма равна 1.

Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера :

Необходимый признак сходимости ряда. Ряд может сходиться только при условии, что его общий член u n при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю:

Если , то ряд расходится - это достаточный признак растворимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

Признак сравнения рядов с положительными членами. Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда.

При исследовании рядов на сходимость и растворимость по этому признаку часто используется геометрический ряд

который сходится при |q|

являющийся расходящимся.

При исследовании рядов используется также обобщенный гармонический ряд

Если p = 1, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если p < 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p > 1 имеем геометрический ряд, в котором |q | < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при p £1.

Признак Даламбера . Если для ряда с положительными членами

(u n >0)

выполняется условие , то ряд сходится при l l > 1.

Признак Даламбера не дает ответа, если l = 1. В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Знакопеременные ряды.

Абсолютная и условная сходимость рядов:

Числовой ряд

u 1 + u 2 + u 3 + u n

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Признак сходимости для знакочередующихся рядов . Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член u n стремится к нулю при n ® ,то ряд сходится.

Пример 7. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

1) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают и . Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходятся ли этот ряд абсолютно или условно.

2) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: , но

Функциональные ряды:

Обычный числовой ряд состоит из чисел:

Все члены ряда - это числа.

Функциональный же ряд состоит из функций:

В общий член ряда помимо многочленов, факториалов и т.д. непременно входит буква «икс». Выглядит это, например, так: . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда - это функции .

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд .

Степенные ряды:

Степенным рядом называется ряд вида

где числа а 0 , а 1 , а 2 , а n называется коэффициентами ряда, а член a n x n - общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений x , при которых данный ряд сходится.

Число R называется радиусом сходимости ряда, если при |x| ряд сходится.

Пример 8. Дан ряд

Исследовать его сходимость в точках x = 1 и х = 3, x = -2.

При х = 1 данный ряд превращается в числовой ряд

Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера. Имеем

Т.е. ряд сходится.

При х = 3 получим ряд

Который расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда

При х = -2 получим

Это знакочередующийся ряд, который, согласно признаку Лейбница, сходится.

Итак, в точках x = 1 и х = -2. ряд сходится, а в точке x = 3 расходится.

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена:

Рядом Тейлора для функции f(x) называется степенной ряд вида

Если, а = 0, то получим частный случай ряда Тейлора

который называется рядом Маклорена.

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадают с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:

1) вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке x = 0, т.е. , , .

8. Разложить в ряд Маклорена функции.

Как мы уже знаем математический анализ, занимается проблемами изучения множества объектов, таких как: числа, переменные, функции, последовательности, ряды и др. При изучении свойств того или иного объекта могут возникать пробелы или “пустоты". Это возникает тогда, когда наука не может объяснить: “Почему происходит так, а не иначе? ”. Такой казус существовал некоторое время и при изучении рядов, а точнее при изучении расходящихся рядов .

При изучении рядов заданному числовому ряду

(А)

в качестве его суммы мы приписывали предел её частичной суммы

, в предположении, что этот предел существует и конечен. “Колеблющийся" расходящийся ряд оказывался лишенным суммы и подобные ряды, как правило, из рассмотрения исключали. Естественно возникает вопрос о возможности суммирования расходящихся рядов в некоем новом смысле, конечно отличном от обычного. Этот вопрос возник ещё до второй половины XIX века. Некоторые методы такого суммирования оказались довольно-таки плодотворными.

В данной своей работе я хочу рассмотреть эти методы, обратить внимание на то, где и какой метод наиболее применим, изучить связь между этими методами. Моя работа состоит из 4 глав, первая из которых содержит основные термины и определения необходимые для работы. Последующие главы рассматривают непосредственно сами методы суммирования. Вторая и третья главы посвящены двум основным методам суммирования: метод степенных рядов и метод средних арифметических , а третья содержит сведения о других существующих, но реже применяемых методах. Каждая из четырех глав содержит примеры суммирования рядов по данному конкретному методу.

Глава 1. Основные понятия теории рядов

1.1 Определения и термины

Как мы упомянули вначале цель нашего исследования - расходящиеся ряды . А что же такое, вообще, ряд ?

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел

(1)

Составленный из этих чисел символ

(2)

называется бесконечным рядом , а сами числа (1) - членами ряда. Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так:

(2а)

Станем последовательно складывать члены ряда, составляя (в бесконечном количестве) суммы;

(3)

их называют частичными суммами ряда.

Конечный или бесконечный предел А частичной суммы ряда ( 2) при :

называют суммой ряда и пишут

,

Придавая тем самым символу (2) или (2а) числовой смысл. Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном же случае (т. е если сумма равна

, либо же суммы вовсе нет) - расходящимся.

Примеры.1) простейшим примером бесконечного ряда является уже знакомая геометрическая прогрессия:

Его частичная сума будет (если

)

Если знаменатель прогрессии, q, по абсолютной величине меньше единицы, то

имеет конечный предел

то есть наш ряд сходится, и

будет его суммой. та же прогрессия дает пример расходящегося ряда. Если , то его суммой будет бесконечность (определенного знака), в прочих случаях суммы вовсе нет. Отметим, в частности, любопытный ряд, который получается при a=1 и q= - 1; …1+ (-1) +1+ (-1) +1+…

Его частичные суммы попеременно равны то 1, то 0.

2) Легко установить расходимость ряда

В самом деле, так как члены его убывают, то его n -я частичная сумма

и растет до бесконечности вместе с n.

1.2 Истоки проблемы

Различные факты из области математического анализа, как, например, расходимость, произведения двух сходящихся рядов, естественно выдвинули вышеупомянутый вопрос: “О возможности суммирования расходящихся рядов, в некоем новом смысле”.

Нужно сказать, что до создания Коши строгой теории пределов (и связанной с нею теории рядов) расходящиеся ряды нередко встречались в математической практике.

Хотя применение их при доказательствах и оспаривалось, тем не менее иной раз делались попытки придавать им даже числовой смысл.

Вспомним, опять, наш колеблющийся ряд

Еще со времен Лейбница в качестве "суммы" приписывалось число

. Эйлер, например, мотивировал это тем, что из разложения

(которое в действительности имеет место лишь для

) при подстановке вместо х единицы как раз и получается

В этом уже содержалось зерно истины, но постановке вопроса не хватало четкости; самый произвол в выборе разложения оставлял открытой возможность, скажем из другого разложения (где п и т - любые, но