Муж. корешек, шечек, коренек ·умалит. корнишка презрительное, корнища увеличительное, подземная часть всякого растения. У деревьев различают становой и боковые корни, а при них корешки и мелкие мочки. вбирающие влагу. Корень бывает: луковичный,… … Толковый словарь Даля
КОРЕНЬ, рн, мн. рни, рней, муж. 1. Подземная часть растения, служащая для укрепления его в почве и всасывания из неё воды и питательных веществ. Главный, боковой, придаточный к. Воздушные корни (у лиан и нек рых других растенийвысоко над землёй … Толковый словарь Ожегова
- (radix), один из основных вегетативных органов листостебельных растений, служащий для прикрепления к субстрату, поглощения из него воды и питат. веществ. Филогенетически К. возник позднее, чем стебель, и, вероятно, произошёл от корнеподобных… … Биологический энциклопедический словарь
См. начало, причина, происхождение вырывать с корнем, пускать корни... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. корень начало, причина, происхождение; радикал; корешок, стержень,… … Словарь синонимов
корень - КОРЕНЬ, рня, м. 1. Друг, приятель. 2. Мужской половой орган Маленький мужчина растет в корень корень Крепкий корень старый, верный друг. 1. возм. контаминация с кореш … Словарь русского арго
В математике..1) корень степени n из числа a всякое число x (обозначаемое, a называется подкоренным выражением), n я степень которого равна a (). Действие нахождения корня называется извлечением корня2)] Корень уравнения число, которое после… …
Первичный корень сохраняется у многих хвойных на всю жизнь и развивается в виде мощного стержневого корня, от которого отходят боковые. Реже, как у некоторых сосен, первичный корень недоразвивается и заменяется боковыми. Кроме длинных… … Биологическая энциклопедия
- (математическое), 1) Корень степени n из числа a Число, n я степень которого равна заданному числу a (обозначается; a называется подкоренным выражением). Действие нахождения корня называется извлечением корня. 2) Решение уравнения значение… … Современная энциклопедия
В биологии один из основных органов растений, служащий для укрепления в почве, поглощения воды, минеральных веществ, синтеза органических соединений, а также для выделения некоторых продуктов обмена. Корень может быть местом хранения запасных… … Большой Энциклопедический словарь
В лингвистике непроизводная (простая) основа слова, не включающая никаких аффиксов. Корень лексическое ядро слова, т. е. несет его основное вещественное значение … Большой Энциклопедический словарь
Книги
- Корень всех зол , Уильямс Р.. Дональд Бейли – не трудный подросток, а просто-напросто несчастливый. Совершив непоправимый поступок, он потерял доверие друзей, любовь матери и собственный покой. Что ему осталось? Бежать от…
- Корень проблемы , Генри Р. Брандт. Автор этой книги предлагает очень простую Библейскую истину избавления от всяческих душевных расстройств: осознание греха, как первопричины всех проблем и раскаяние в соделанных грехах. В…
\(\sqrt{a}=b\), если \(b^2=a\), где \(a≥0,b≥0\)
Примеры:
\(\sqrt{49}=7\), так как \(7^2=49\)
\(\sqrt{0,04}=0,2\),так как \(0,2^2=0,04\)
Как извлечь квадратный корень из числа?
Чтобы извлечь квадратный корень из числа, надо задать себе вопрос: какое число в квадрате даст выражение под корнем?
Например . Извлеките корень: а)\(\sqrt{2500}\); б) \(\sqrt{\frac{4}{9}}\); в) \(\sqrt{0,001}\); г) \(\sqrt{1\frac{13}{36}}\)
а) Какое число в квадрате даст \(2500\)?
\(\sqrt{2500}=50\)
б) Какое число в квадрате даст \(\frac{4}{9}\) ?
\(\sqrt{\frac{4}{9}}\) \(=\)\(\frac{2}{3}\)
в) Какое число в квадрате, даст \(0,0001\)?
\(\sqrt{0,0001}=0,01\)
г) Какое число в квадрате даст \(\sqrt{1\frac{13}{36}}\)? Чтобы дать ответ на вопрос, нужно перевести в неправильную.
\(\sqrt{1\frac{13}{36}}=\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{7}{6}\)
Замечание : Хотя \(-50\), \(-\frac{2}{3}\) , \(-0,01\),\(- \frac{7}{6}\) , тоже отвечают на поставленные вопросы, но их не учитывают, так как квадратный корень – всегда положителен.
Главное свойство корня
Как известно, в математике у любого действия есть обратное. У сложения – вычитание, у умножения – деление. Обратное действие возведению в квадрат - извлечение квадратного корня. Поэтому эти действия компенсируют друг друга:
\((\sqrt{a})^2=a\)
Это и есть главное свойства корня, которое чаще всего используется (в том числе и в ОГЭ)
Пример . (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \(\frac{(2\sqrt{6})^2}{36}\)
Решение : \(\frac{(2\sqrt{6})^2}{36}=\frac{4 \cdot (\sqrt{6})^2}{36}=\frac{4 \cdot 6}{36}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
Пример . (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \((\sqrt{85}-1)^2\)
Решение:
Ответ: \(86-2\sqrt{85}\)Конечно, при работе с квадратным корнем нужно использовать и другие .
Пример
. (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \(5\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{22}\)
Решение:
Ответ: \(220\)
4 правила про которые всегда забывают
Корень не всегда извлекается
Пример : \(\sqrt{2}\),\(\sqrt{53}\),\(\sqrt{200}\),\(\sqrt{0,1}\) и т.д. – извлечь корень из числа не всегда возможно и это нормально!
Корень из числа, тоже число
Не надо относится к \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{53}\), как-то особенно. Это числа, да не целые, да , но не все в нашем мире измеряется в целых числах.
Корень извлекается только из неотрицательных чисел
Поэтому в учебниках вы не увидите вот таких записей \(\sqrt{-23}\),\(\sqrt{-1}\),и т.п.
Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!
Начнем с простенького:
Минуууточку. это, а это значит, что мы можем записать вот так:
Усвоил? Вот тебе следующий:
Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда - вот тебе такие примеры:
А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:
Теперь полностью самостоятельно:
Ответы: Молодец! Согласись, все очень легко, главное знать таблицу умножения!
Деление корней
С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.
Напомню, что формула в общем виде выглядит так:
А значит это, что корень из частного равен частному корней.
Ну что, давай разбираться на примерах:
Вот и вся наука. А вот такой пример:
Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.
А что, если попадется такое выражение:
Надо просто применить формулу в обратном направлении:
А вот такой примерчик:
Еще ты можешь встретить такое выражение:
Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!
Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.
Возведение в степень
А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа - это число, квадратный корень которого равен.
Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен, в квадрат, то что получаем?
Ну, конечно, !
Рассмотрим на примерах:
Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!
Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.
Почитай теорию по теме « » и тебе все станет предельно ясно.
Вот, к примеру, такое выражение:
В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:
С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:
Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:
Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:
А вот и ответы:
Внесение под знак корня
Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!
Это совсем легко!
Допустим, у нас записано число
Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка - корень квадратный из!
Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:
Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак квадратного корня мы можем только положительные числа.
Реши самостоятельно вот этот пример -
Справился? Давай смотреть, что у тебя должно получиться:
Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному - рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!
Сравнение корней
Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?
Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)
Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!
Например, определи, что больше: или?
Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?
Тогда вперед:
Ну и, очевидно, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень!
Т.е. если, значит, .
Отсюда твердо делаем вывод, что. И никто не убедит нас в обратном!
Извлечение корней из больших чисел
До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!
Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:
Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.
Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:
Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:
А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):
Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!
Вот и все, не так все и страшно, правда?
Получилось? Молодец, все верно!
А теперь попробуй вот такой пример решить:
А пример-то - крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.
Ну что, начнем раскладывать на множители? Сразу заметим, что можно поделить число на (вспоминаем признаки делимости):
А теперь, попробуй сам (опять же, без калькулятора!):
Ну что, получилось? Молодец, все верно!
Подведем итоги
- Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен.
. - Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
- Свойства арифметического корня:
- При сравнении квадратных корней необходимо помнить, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.
Как тебе квадратный корень? Все понятно?
Мы постарались объяснить тебе без воды все что нужно знать на экзамене про квадратный корень.
Теперь твоя очередь. Напиши нам сложная это для тебя тема или нет.
Узнал ты что-то новое или все было и так ясно.
Пиши в комментариях и удачи на экзаменах!
Формулы корней. Свойства квадратных корней.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать.
Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями - это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да...
Начнём с самой простой. Вот она:
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
